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Die
Ausgangsformeln
sind |
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| nL = ND ·
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æ
ç
è |
1 – |
1
1 + exp (ED
– EF)/kT |
ö
÷
ø |
(1) |
| exp |
EF
kT |
= |
nL
NLeff |
· |
exp |
EL
kT |
(2) |
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Wir müssen "nur" den
Ausdruck für EF in der 2. Formel in die
erste Formel einsetzen, und nach nL auflösen -
das ist alles. |
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Sowas kann man mehr oder weniger
elegant machen. Da wir das Ergebnis kennen, und es nicht besonders einfach
aussieht, können wir aber erwarten, dass es auch keinen besonders
einfachen Weg dahin gibt. |
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Als erstes formen wir (1)
etwas um. |
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| nL |
= |
ND · |
æ
ç
è |
1 – |
1
1 + exp (ED
– EF)/kT |
ö
÷
ø |
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= |
ND · |
æ
ç
è |
1 + exp (ED
– EF)/kT – 1
1 + exp (ED – EF)/kT
|
ö
÷
ø |
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= |
ND · |
æ
ç
è |
exp (ED/kT)
exp (ED /kT) + exp
(EF/kT) |
ö
÷
ø |
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Für
exp(EF/kT) setzen wir jetzt die 2.
Gleichung ein und erhalten |
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| nL |
= |
ND · |
æ
ç
è |
exp (ED/kT)
exp (ED /kT) +
(nL/NLeff) · exp
(EL/kT) |
ö
÷
ø |
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Jetzt müssen wir nach
nL auflösen, und das führt unweigerlich auf
eine quadratische Gleichung. |
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Es könnte einfacher werden, wenn wir die
Kehrwerte betrachten, wir haben |
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1
nL |
= |
1
ND |
· |
æ
ç
è |
exp (ED /kT) +
(nL/NLeff) · exp
(EL/kT)
exp (ED/kT) |
ö
÷
ø |
1
nL |
– |
nL · exp
(EL/kT)
NLeff · ND · exp
(ED/kT) |
– |
1
ND |
= 0 |
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Jetzt kommt ein möglicherweise
"eleganter" Trick: Wenn wir das
Ergebnis betrachten und
mit der bekannten Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen vergleichen,
erscheint es plausibel, dass man zunächst mal nicht
nL, sondern 1/n2L
berechnet, weil dann die Wurzel im Zähler auftauchen muss. |
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Wir dividieren also durch
nL, sortieren, und erhalten |
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1
n2L |
– |
1
nL · ND |
– |
exp (EL/kT)
NLeff · ND · exp
(ED/kT) |
= 0 |
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| 1 · |
x2 |
– |
1
ND |
· x |
– |
exp (EL –
ED)/kT
NLeff ·
ND |
= 0 |
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Wir haben also
1/nL = x gesetzt, und könne jetzt die
Lösungsformel für die quadratische Gleichung der Form
ax2 + bx + c verwenden. Sie lautet bekanntlich |
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| x1,2 |
= |
– b ± (b2 – 4ac)½
2a |
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Wir erhalten entsprechend |
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1
nL |
= |
1
2 |
· |
æ
ç
è |
1
ND |
± |
æ
ç
è |
1
N2D |
+ |
4 · exp (EL –
ED)/kT
NLeff · ND |
ö
÷
ø |
1/2 |
ö
÷
ø |
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Für nL
resultiert damit |
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| nL |
= |
2
1/ND ± 1/ND ·
{1 + 4 ·
(ND/NL) · exp (EL
– ED)/kT }½ |
nL =
|
2ND
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| 1 + |
æ
ç
è |
1 + |
4 · ND
NLeff |
· exp |
EL – Ed
kT |
ö
÷
ø |
1/2 |
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q.e.d.
Also im Prinzip ganz einfach. Und wer so was nicht auf Anhieb schafft - darauf
kommt es nur sehr bedingt an. Wichtig ist, dass man das Prinzip versteht, die
Lösung der Gleichungen findet sich dann schon. Und auch, warum vom
"±" nur noch das "+" übrig bleibt.
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© H. Föll
5.2.4 Massenwirkungsgesetz und Ladungsträgerdichten 
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